DISEÑO FACTORIAL 2^2 Y 2^3

By gabo.ramiro.luna | Updated: May 9, 2020, 12:32 a.m.

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DISEÑOS FACTORIALES 2^2, 2^3
Ingeniería de Calidad y Toma de Decisiones
Integrantes de equipo:

PICAZO MORALES BREAYAN MICHEL
RAMÍREZ MORALES BRAULIO CESAR 
RAMIRO LUNA OSCAR GABRIEL

¿Qué es un diseño factorial?
Es importante mencionar que existe una serie o familia de diseños factoriales denominada 2^k
donde: 
* 2 representa el número de niveles, y estos pueden llamarse arbitrariamente como nivel bajo y nivel alto.

* el exponente “k” representa el número de factores que contiene dicho diseño.

El primer diseño de esta familia o serie 2^k, es el que solo tiene 2 factores, y estos pueden ser por ejemplo, A y B; y a este diseño se le llama diseño factorial 2^2. 
DISEÑOS FACTORIALES 2^2
Con un diseño factorial 2^2 se estudia el efecto de 2 factores considerando 2 niveles en cada uno. Cada réplica de este diseño consiste de 2 niveles X 2 factores = 4 combinaciones o tratamientos que se pueden representar de diferentes maneras como se muestra a continuación:
La notación +1 y -1 es útil a la hora de hacer los cálculos para ajustar por mínimos cuadrados un modelo de regresión a los datos. Además, que permite calcular fácilmente los efectos de interés.

La notación de Yates tiene un significado diferente a las demás: con ella se representa el total o la suma de las observaciones en cada tratamiento.  
Técnica de yates
Es la técnica para el cálculo de contrastes. Yates desarrolló una técnica tabular sistemática de derivar los efectos factoriales. 
Las combinaciones de tratamiento y las observaciones se deben escribir hacia abajo en forma estándar.

Para un factor, la forma estándar es (1), (a).

Para dos factores, se agrega b y ab,

las cuales se derivan de multiplicar las primeras dos combinaciones de tratamiento por la letra adicional b, es decir, 1 x a = a, a x b = ab  
Problema de ejemplo
Interesa estudiar el efecto del tamaño de broca (factor A) y de la velocidad (factor B) sobre la vibración de la ranura (respuesta y). Se decide un diseño 2^2 con 4 replicas, lo cual da un total de 4X2^2=16 corridas del proceso, que se realizan en orden aleatorio.
 
Se puede observar que: 
*El tamaño de la broca se prueba en 1/16 y en 1/8 de pulgada. 
*La velocidad de la broca en 40 y 90 revoluciones por segundo.
*se aprecia en el hecho de que se aleatorizaron las 16 corridas del proceso y se hicieron 4 repeticiones de cada tratamiento. 
*También se muestran los datos de vibración obtenidos en las 16 pruebas. *En la ultima columna se indica el total por tratamiento utilizando la notación de Yates. 
*el experimento se corre en igualdad de circunstancias con respecto al resto de los factores controlables no incluidos durante las pruebas.  
Ahora con el problema anterior se plantean hipótesis y se busca saber cuales de nuestras hipótesis nulas y alternativas serán aceptadas y cuales serán rechazadas.

H0: El tamaño de la broca NO afecta significativamente a la vibración de la ranuradora. 
H1: El tamaño de la broca SI afecta significativamente a la vibración de la ranuradora. 
H0: La velocidad de la broca NO afecta significativamente la vibración de la ranuradora. 
H1: La velocidad de la broca SI afecta significativamente la vibración de la ranuradora. 
Pasos para la resolución del ejemplo de diseño factorial 2^2
Teniendo las hipótesis del experimento, ahora lo resolveremos y para ello nos guiáremos en el diagrama y observamos que primero debemos obtener los contrastes para posteriormente calcular los efectos .

Los contrastes se obtienen gracias a la tabla de signos de Yates, en donde si se quiere obtener el contraste de la interacción doble AB, se tiene que multiplicar la columna de signos A X la columna de signos B y el resultado son los signos de contraste AB.  
Paso 1: CALCULO DE EFECTOS ESTIMADOS
Teniendo los contrastes, ahora sustituiremos los valores (1), a, b y ab de la tabla de yates anteriormente vista en las formulas para calculo de efectos, los cuales nos ayudaran posteriormente.
Paso 2: Calculo de suma de cuadrados
Ahora se hace lo mismo que el calculo de efecto, es decir, se tiene que sustituir los valores de (1), a, b, ab pero ahora en las formulas de contrastes para obtener la suma de cuadrados para posteriormente llenar la tabla de ANOVA.
Paso 3: Calculo de anova
Ahora procedemos a llenar la “tabla de ANOVA para el diseño factorial 𝟐^𝟐 "con los datos que pide dicha tabla y con la suma de cuadrados que obtuvimos en el paso anterior. 
Llenando la tabla nos quedó así
Conclusiones del problema
Si F calculada es menor o igual a F tablas, entonces se acepta la hipótesis nula (H0), en este caso las 3 "F calculadas" son mayores que F tablas, por lo tanto se rechazan hipótesis nulas y se aceptan las hipótesis alternativas (H1).

Por lo tanto los 2 efectos principales A (tamaño) y B (velocidad), así como el efecto de interacción AB (tamaño X velocidad) de la broca si afectan significativamente la vibración de la ranuradora.     
Con estas conclusiones sabemos que como la vibración es afectada significativamente y esto a su vez genera un defecto de la calidad en el producto (la broca), es necesario disminuir los efectos de tamaño y velocidad que son controlables, esto para no afectar la calidad del mismo.
DISEÑO FACTORIAL 2^3
Ahora mostraremos el diseño factorial 2 a la 3 el cual es muy similar al diseño factorial 2 a la 2 anteriormente visto, la diferencia de este modelo es que se agrega un tercer factor resultando ahora 8 tratamientos. 
Con el diseño factorial 2^3 se estudia el efecto de tres factores en dos niveles cada uno. Consta de 2^3= 2 X 2 X 2 = 8 tratamientos diferentes, los cuales se identifican con notaciones similares a las del diseño 2^2.

La matriz de diseño se construye alternando el signo menos y el signo mas en la primera columna, dos menos y dos mas en la segunda columna, y cuatro menos y cuatro mas en la tercera, el diseño resulta acomodado en el origen estándar o de Yates.   
Sean a, b, c los factores que se quieren estudiar y sean (1),a, b, ab, c, ac, bc, y abc los totales observados en cada uno de los tratamientos escritos en su orden estándar

DISEÑO FACTORIAL 2^2 Y 2^3

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