Видео-презентация "Геометрические места точек"

By evgenia124356 | Updated: March 14, 2025, 10:28 a.m.

Loading...

Slideshow Video

Sign up for free!

SHARE THE AWESOMENESS

Education

create your own animated videos for free

_abc cc

* Powtoon is not liable for any 3rd party content used. It is the responsibility of each user to comply with 3rd party copyright laws.

Embed code

Select a size, the embed code changes based on your selection.

_abc Powtoon Transcript

Здравствуйте!
 Я рада Вас видеть
Сегодня мы с вами поговорим о том, что называют геометрическим местом точки
Любое множество точек - это геометрическая фигура. Изобразить произвольную фигуру легко: всё, что нарусуете, - геометрическая фигура. Однако, изучив фигуры, состоящие из хаотически расположенных точек, вряд ли целесообразно. 
Поэтому разумно выделить тот класс фигур, все точки которых обладают каким-то характерным свойством. 
Каждую из таких фигур мы будем называть геометрическим местом точек
Предположим, что имеется некоторое условие (назовём его S), сформулированное для произвольной точки m на плоскости.
Пусть, например, o - фиксированная точка плоскости, и условие S звучит так: "расстояние от точки O до плоскости M равно 1". Интересен вопрос: где находятся все такие точки M?
Ответ ясен - все такие точки M расположены на окружности с центром в точке o и радиусом 1.
Любая точка M этой окружности удовлетворяет равенству OM=1 (условие S выполнено), а для всякой точки M, не лежащей на данной окружности, справедливо неравенство OM 
не = 1 (условие S не выполнено) 
Для описания подобных ситуаций как раз и применяется специальный термин "Геометрическое место точек"
Геометрическое место точки (ГМТ), удовлетворяющих условию S, - это множество всех точек плоскости, удовлетворяющих данному условию. Иными словами, любая точка из ГМТ удовлетворяет условие S, а всякая точка, в лежащая в ГМТ, этому условию не удовлетворяет.
Вернемся к рассмотренному ранее примеру
Окружность с центром O и радиусом 1 - это геометрическое место точек, удалённых от точки o на расстояние 1.
А вот правая полуокружность, например, уже не будет геометрическим местом точек, удовлетворяющих данному условию.
В самом деле, хотя для любой точки M правой полуокружности выполняется OM=1, найдутся и другие точки (а именно, левая полуокружность), для которых это условие также выполнено. Иными словами, полуокружность не есть "максимальное" множество точек, удовлетворяющих данному условию, а значит не ГМТ.
Помимо окружности, существуют и другие геометрические места точек. Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Серединный перпендикуляр

Вспомним: серединный перпендикуляр к отрезку - это прямая, перпендикулярная данному отрезку и проходящая через его середину
Теорема: 
Серединный перпендикуляр к отрезку есть геометрическое место точек, равноудаленных от концов данного отрезка.
Доказательство:

Во-первых, мы должны доказать, что любая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка. Во-вторых, нужно доказать, что никакая другая точка этому условию не удовлетворяет, то есть серединный перпендикуляр, содержит все точки, равноудалённые от концов отрезков.

Таким образом, нужно доказать два взаимно обратных утверждения:
если точка принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку, то она равноудалена от концов отрезка;если точка равноудалена от концов отрезка, то она принадлежит серединному перпендикуляру к этому отрезку.
Докажем первое утверждение: пусть C - середина отрезка AB. проведём серединный перпендикуляр р и выберем на нём произвольную точку М.
1) Если M совпадает с C, то даказывать нечего. Пусть C не совпадаем с C. Проведём отрезки AM и BM. В прямоугольных треугольниках ACM и BCM катеты AC и BC равны, катет CM - общий. Следовательно, треугольники равны по двум катетам, и потому AM=BM. Значит, точка M равноудалена от концов отрезка AB. Первое утверждение доказано.
Докажем второе утверждение: пусть точка M равноудалена от концов отрезка AB. Через M и середину C отрезка AB  проведем прямую p. 
2) в треугольниках ACM и BCM имеем: AC=BC, AM=BM, сторона CM - общая. Следовательно, эти треугольники равны по трём сторонам. Поэтому равны и углы ACM и DCM (они являются соответствующими, поскольку лежат напротив равных сторон). Но в это же время эти углы являются смежными и дают в сумме 180 градусов. Значит, оба этих угла равны 90 градусов, то есть прямая р перпендикулярна AB.
Итак, прямая p - серединный перпендикуляр к отрезку AB. 
Второе утверждение тем самым доказано, а вместе с тем доказана и теорема. 
Пример 2. Биссектрисса угла

Теорема: Биссектриса угла есть геометрическое место внутренних точек угла, равноудаленных от сторон угла.
Вспомним: биссектриса угла - луч, который исходит из вершины ушла и делит этот угол на две равные части
Доказательство:

Во-первых, мы должны доказать, что любая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон угла.во-вторых, нужно доказать, что никакие другие внутренние точки угла этому условию не удовлетворяют, то ест биссектриса содержит все точки, равноудалённые от сторон угла.

Таким образом, нужно доказать два взаимно обратных утверждения:
если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон этого угла;если внутренняя точка угла равноудалена от его сторон, то она лежит на биссектрисе этого угла
Докажем первое утверждение:  пусть l - биссектриса угла AOB. Возьмём на биссектрисе произвольную точку M и проведём перпендикуляры MP и MQ к сторонам угла.
1) В прямоугольных треугольниках OMP и OMQ гипотенуза OM - общая и, кроме того, угол MOP = углу MOQ. Следовательно, треугольник OMP = треугольнику OMQ по гипотенузе и острому углу, и потому MP=MQ. Таким образом, точка M равноудалена от сторон угла. Первое утверждение доказано.
Докажем второе утверждение:  пусть M - внутренняя точка AOB, равноудалённая от его сторон. Проведём луч l=OM.
2) Снова рассмотрим прямоугольные треугольники OMP и OMQ. У них гипотенуза OM - общая и, кроме того, MP=MQ. Следовательно, треугольник OMP = треугольнику OMQ по гипотенузе и катету, и потому угол MOP = углу MOQ. Таким образом, l - биссектриса угла AOB. Второе утверждение доказано, а вместе с ним и доказана теорема. 
Мы рассмотрели три важнейших примера ГМТ (геометрических мест точки): окружность, серединный перпендикуляр и биссектриса угла.
Но, есть и другие, с которыми вы можете познакомиться самостоятельно.
до новых встреч!

Видео-презентация "Геометрические места точек"

Copy this link to share with friends and colleagues:

WELCOME TO POWTOON!